Registro lezioni
Lezione |
Data |
Argomenti trattati |
Note e riferimenti |
| 1-2 | 23/9 | Numeri naturali, principio di induzione, principio del buon ordinamento. Algoritmo euclideo di divisione. Caratterizzazione di insiemi finiti, infiniti, numerabili, non numerabili. Criterio di Dedekind. R non è numerabile (senza dim). Decomposizione in prodotto di numeri primi, I numeri primi sono infiniti. Cardinalità dell'insieme delle parti. Relazioni in un insieme. Relazioni d'equivalenza e d'ordine. | Note Casnati: induzione Note Casnati: insiemi finiti e infiniti Note Casnati: relazioni |
| 3-4 | 30/9 | Relazioni d'equivalenza e
d'ordine, ordine parziale e
ordine totale. La congruenza
modulo n. Classi di equivalenza,
partizioni, insieme quoziente, esempi. Gruppi: definizione e prime proprietà, esempi. |
[CPR] I.2, I.3, I.4 + III.1, III.3 |
| 5-6 |
7/10 |
Proprietà dei gruppi, legge di semplificazione. Potenze/multipli di un elemento. Morfismi di gruppi: omo-mono-epi-iso-endo-automorfismi. Esempi e proprietà degli omomorfismi. Sottoinsiemi stabili. Sottogruppi: definizione, proprietà ed esempi. Criterio per sottogruppi. Sottogruppo ciclico generato da un elemento. Alcuni esercizi del foglio 2. | [CPR] III.1, III.2, III.3, III.4 |
| 7-8 | 14/10 |
Gruppi ciclici. Gruppo
additivo (Z, +) e i suoi
sottogruppi. Ordine di un
elemento di un
gruppo. Sottogruppo generato da
un insieme. Intersezione di
sottogruppi e sottogruppo
unione. Immagine e retroimmagine
di un sottogruppo, nucleo e
immagine, epimorfismi e
monomorfismi. Svolgimento di alcuni esercizi del foglio 2. |
[CPR] III.2, III.3, III.4 |
| 9-10 |
21/10 |
Gruppi ciclici, proprietà
e caratterizzazione. I gruppi
ciclici sono isomorfi a Z o
Z_n. Svolgimento di alcuni esercizi del foglio 3. Gruppo simmetrico: permutazioni, cicli, trasposizioni, decomposizione in cicli disgiunti. |
[CPR] III.7, III.8 |
| 11 |
27/10 |
Gruppo simmetrico: decomposizione in cicli
disgiunti e in trasposizioni. Ordine di una
permutazione. Parità e segno di una permutazione,
omomorfismo sgn, gruppo
alterno. Sym(G) e teorema di Cayley. |
[CPR] III.8 |
| 12-13 |
28/10 | Svolgimento di alcuni
esercizi del foglio 4. Classi laterali destre e sinistre di un sottogruppo, insieme quoziente. Indice di un sottogruppo, Teorema di Lagrange e corollari. Sottogruppi normali e criterio di normalità, esempi. |
[CPR] III.5 |
| 14 |
3/11 |
Gruppo quoziente e proiezione
canonica. Il nucleo di un omomorfismo è un
sottogruppo normale, esempi. Teorema
fondamentale di omomorfismo per gruppi. Alcuni esercizi del foglio 5. |
[CPR] III.5, III.6 |
| 15-16 |
4/11 |
Alcuni esercizi del foglio 5 e approfondimento
sul gruppo diedrale. Anelli, anelli unitari, commutativi, campi e corpi, divisori dello zero e domini di integrità: definizioni, esempi, e prime proprietà. |
Note sul gruppo diedrale [CPR] IV.1 |
| 17 | 10/11 |
Caratteristica di un
anello. Omo-mono-epi-isomorfismi di anelli e di anelli
unitari, nucleo di un morfismo di anelli,
l'omomorfismo unitario. Sottoanelli e criterio per sottoanelli. |
[CPR] IV.1, IV.2 |
| 18-19 | 11/11 |
Sottoanelli e ideali. Immagine e retroimmagine
di sottoanelli e ideali tramite omomorfismo. Un campo
ha solo ideali impropri. Ideali principali, PID,
ideali generati da un sottoinsieme. Intersezione di
ideali e ideale somma. Alcuni esercizi del foglio 6. |
[CPR] IV.3, IV.4 |
| 20 |
17/11 |
Anello quoziente e teorema
fondamentale degli omomorfismi di anelli, esempi. Alcuni esercizi del foglio 6. |
[CPR] IV.5 |
| 21-22 |
18/11 |
Approfondimento su Z e Z_n: divisori, multipli, MCD, numeri primi e coprimi. Formula di
Bezout e algoritmo di Euclide per il MCD. Proprietà dei numeri primi. Teorema cinese dei
resti e cenno ai sistemi di congruenze. Cenno alle
congruenze di potenze e piccolo teorema di Fermat
(senza dimostrazione). Esempi ed esercizi del foglio 7. |
[CPR] V.1, V.2, V.3 |
| 23-24 |
25/11 | Alcuni esercizi del
foglio 7. Ideali primi e massimali: proprietà, collegamento con campi e domini di integrità, esempi. |
[CPR] IV.6 |
| 25-26 |
27/11 | Lezione su virtual classroom: ideali primi e massimali, I è massimale
se e solo se A/I è un campo. Alcuni esercizi del foglio 8. Anelli di polinomi: definizione, prime proprietà. Divisione tra polinomi a coefficienti in un campo, algoritmo euclideo. Se K è un campo K[x] è un PID. |
[CPR IV.6, VI.1 |
| 27 |
1/12 |
Divisione tra polinomi, domini
euclidei. Polinomi irriducibili, coprimi, MCD di
polinomi, identità di Bezout. Teorema di fattorizzazione unica per polinomi (senza dim). Radici di polinomi, teorema di Ruffini e conseguenze. |
[CPR] VI.1, VI.2 |
| 28-29 | 2/12 |
Congruenza modulo un polinomio e polinomi irriducibili: il quoziente modulo un polinomio irriducibile è un campo. Campi algebricamente chiusi. Polinomi irriducibili a coefficienti nei numeri complessi e reali. Alcuni esercizi del foglio 8. |
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| 30-31 | 9/12 |
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| 32 |
15/12 | ||
| 33-34 |
16/12 |