Registro lezioni
Lezione
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Data |
Argomenti trattati |
Note
e riferimenti
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| 1-2 | 24/9 |
Numeri naturali, principio di
induzione, principio del buon ordinamento. Algoritmo
euclideo di divisione. Caratterizzazione di insiemi finiti,
infiniti, numerabili, non numerabili. Criterio di Dedekind.
R non è numerabile (senza dim). I numeri primi sono
infiniti. Cardinalità dell'insieme delle parti. |
Note
su principio induzione Note su insiemi finiti e infiniti |
| 3-4 | 1/10 |
Relazioni in un
insieme. Relazioni d'equivalenza e d'ordine. Esempi, tra cui
congruenza modulo n e inclusione. Classi di equivalenza,
partizioni, insieme quoziente. Gruppi: definizione e prime proprietà, esempi. |
[CPR] I.2, I.3, I.4 + III.1,
III.3 Note su relazioni |
| 5 |
7/10 |
Proprietà dei gruppi, legge di semplificazione. Potenze/multipli di un elemento. | [CPR] III.1 |
| 6-7 |
8/10 |
Morfismi di gruppi:
omo-mono-epi-iso-endo-automorfismi. Esempi e proprietà degli
omomorfismi. Sottoinsiemi stabili. Sottogruppi: definizione,
proprietà ed esempi. Criterio per sottogruppi. Sottogruppo
ciclico generato da un elemento, gruppi ciclici. Gruppo
additivo (Z, +) e i suoi sottogruppi. |
[CPR] III.2, III.4 |
| 8-9 |
15/10 |
Ordine di un elemento di un
gruppo. Sottogruppo generato da un insieme. Intersezione di
sottogruppi e sottogruppo unione. Esempi. Esercitazione: svolgimento di alcuni esercizi del foglio 2. |
[CPR] III.2, III.3, III.4 |
| 10 |
21/10 |
Immagine e retroimmagine di un
sottogruppo, nucleo e immagine, epimorfismi e monomorfismi.
Gruppo simmetrico: permutazioni, cicli, trasposizioni. |
[CPR] III.4, III.8 |
| 11-12 |
22/10 |
Gruppo simmetrico:
decomposizione in cicli disgiunti e in trasposizioni. Ordine
di una permutazione. Parità e segno di una permutazione,
omomorfismo sgn, gruppo alterno. Teorema di Cayley. Esempi. |
[CPR] III.8 |
| 13-14 |
29/10 |
Gruppi ciclici, proprietà e
caratterizzazione. I gruppi ciclici sono isomorfi a Z o Z_n.
Classi laterali destre e sinistre di un sottogruppo, insieme
quoziente. Indice di un sottogruppo, Teorema di Lagrange e
corollari. |
[CPR] III.7,parte del III.5 |
| 15 |
4/11 |
Esercitazione: svolgimento esercizi dei fogli 3 e 5. | |
| 16-17 |
5/11 |
Sottogruppi
normali e criterio di normalità, esempi. Gruppo quoziente e
primo teorema fondamentale di omomorfismo per gruppi, esempi
ed esercizi. Anelli, anelli unitari, commutativi, campi e corpi; definizione, esempi, e prime proprietà. |
[CPR] III.5, III.6, IV.1 |
| 18-19 |
12/11 |
Altre proprietà degli anelli.
Divisori dello zero e domini di integrità. Caratteristica di
un anello. Omo-mono-epi-isomorfismi di anelli e di anelli
unitari, nucleo di un morfismo di anelli, l'omomorfismo
unitario. Approfondimento sul gruppo diedrale e esercizi foglio 5. |
[CPR] IV.1, IV.2 Note sul gruppo diedrale |
| 20-21 |
19/11 |
Sottoanelli e ideali.Immagine e retroimmagine di sottoanelli e ideali tramite omomorfismo. Un campo ha solo ideali impropri. Ideali principali, PID. Esempi e svolgimento di alcuni esercizi del foglio 6. | [CPR] IV.3, IV.4 |
| 22-23 |
20/11 |
Intersezione di ideali e ideale somma. Anello quoziente e
teorema fondamentale degli omomorfismi di anelli. Approfondimento sugli interi e gli interi modulo n: divisori, multipli, massimo comune divisore, numeri primi e coprimi. Formula di Bezout. Algoritmo di Euclide per la ricerca del MCD. |
[CPR] IV.4, IV.5, V.1 |
| 24-25 |
26/11 |
Algoritmo di Euclide per la
ricerca del MCD. Proprietà dei numeri primi. Teorema cinese
dei resti e cenno ai sistemi di congruenze. Proprietà dei
numeri primi, cenno alle congruenze di potenze e piccolo
teorema di Fermat (senza dimostrazione). Esempi ed esercizi
del foglio 7. Ideali primi e massimali. |
[CPR] V.1, V.2, V.3, IV.6 |
| 26-27 |
3/12 |
Ideali primi e massimali: proprietà, collegamento con
campi e domini di integrità, esempi. Anelli di polinomi: definizione, prime proprietà. Domini euclidei. Divisione tra polinomi a coefficienti in un campo: algoritmo euclideo. |
[CPR] IV.6, parte del VI.1 |
| 28-29 |
10/12 |
Divisione tra polinomi: polinomi irriducibili, coprimi,
MCD di polinomi, identità di Bezout. I polinomi a
coefficienti in un campo sono un PID. Teorema di
fattorizzazione unica per polinomi (senza dim). Radici di
polinomi, teorema di Ruffini e conseguenze. Congruenza
modulo un polinomio e polinomi irriducibili: il quoziente
modulo un polinomio irriducibile è un campo. Campi
algebricamente chiusi. |
[CPR] VI.1, VI.2, parte del VI.3 |
| 30 |
16/12 |
Esercitazione: svolgimento di alcuni esercizi del foglio
8. |
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| 31-32 |
17/12 |
Polinomi irriducibili a coefficienti nei numeri complessi
e reali. Polinomi a coefficienti interi e razionali:
polinomi primitivi, irriducibilità in Q, in Z, in Z_p. Lemma
di Gauss, criteri di irriducibilità: criterio 1 e criterio
di Eisenstein (senza dim). Esempi e esercizi del foglio 8. |
[CPR] VI.6, parte del VI.7, VI.8 |
| 33-34 |
7/1/2025 |