Registro lezioni
Lezione
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Data |
Argomenti trattati |
Note
e riferimenti
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| 1-2 | 4/10 | Corrispondenze fra insiemi.
Funzioni fra insiemi. Relazioni in un insieme. Relazioni
d'equivalenza e d'ordine. Esempi, tra cui congruenza modulo
n e inclusione. Classi di equivalenza, partizioni, insieme
quoziente. Numeri naturali, principio di induzione, principio del buon ordinamento. |
[CPR] I.2, I.3, I.4 + Note su corrispondenze Note su relazioni Note su principio induzione |
| 3 | 9/10 | Algoritmo euclideo di divisione. Caratterizzazione di insiemi finiti, infiniti, numerabili, più che numerabili. Criterio di Dedekind (senza dim). Insiemi numerabili e non numerabili. R non è numerabile (senza dim). | Note su principio induzione Note su insiemi finiti e infiniti |
| 4-5 | 12/10 (giov!) |
I
numeri primi sono infiniti. Criterio di Dedekind. R non è
numerabile. Cardinalità dell'insieme delle parti. Gruppi:
definizione e prime proprietà, esempi. |
Note
su insiemi finiti e infiniti + [CPR] III.1, III.3 |
| 6-7 | 18/10 | Proprietà dei gruppi, legge di
semplificazione. Potenze/multipli di un elemento. Morfismi
di gruppi: omo-mono-epi-iso-endo-automorfismi. Esempi e
proprietà degli omomorfismi. Sottoinsiemi stabili.
Sottogruppi: definizione, proprietà ed esempi. Criterio per
sottogruppi. |
[CPR] III.1, III.2, III.3,
III.4 |
| 8-9 | 26/10 (giov!) |
Criterio per
sottogruppi. Sottogruppo ciclico generato da un elemento,
gruppi ciclici. Gruppo additivo (Z, +) e i suoi sottogruppi. Ordine di un elemento di un gruppo. Svolgimento di alcuni esercizi del foglio 2, il gruppo dei quaternioni. L'intersezione di sottogruppi è un sottogruppo. |
[CPR] parte di III.4,
III.7 |
| 10 | 30/10 |
Intersezione di sottogruppi e
sottogruppo unione. Sottogruppo generato da un insieme.
Immagine e retroimmagine di un sottogruppo, nucleo e
immagine, epimorfismi e monomorfismi. Gruppo simmetrico: permutazioni, cicli, trasposizioni. |
[CPR] III.4, III.8 |
| 1/11 |
Ognissanti
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| 11 |
6/11 |
Ancora sul gruppo simmetrico: decomposizione in cicli disgiunti e in trasposizioni. Ordine di una permutazione. Parità e segno di una permutazione (senza dim), gruppo alterno. Teorema di Cayley (senza dim). | [CPR] III.3, III.8 |
| 12-13 |
8/11 |
Dim della parità e segno di una
permutazione. Dim del Teorema di Cayley. Gruppi ciclici,
proprietà e caratterizzazione. I gruppi ciclici sono
isomorfi a Z o Z_n. Svolgimento di alcuni esercizi del
foglio 3. |
[CPR] III.5 |
| 14-15 |
22/11 |
Classi laterali destre e
sinistre di un sottogruppo, insieme quoziente. Indice di un
sottogruppo, teorema di Lagrange e corollari. Sottogruppi
normali e criterio di normalità, esempi. Gruppo quoziente e
primo teorema fondamentale di omomorfismo per gruppi. |
[CPR] III.5, III.6 |
| 16 |
27/11 |
Svolgimento di alcuni esercizi
del foglio 4. |
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| 17-18 |
29/11 |
Anelli,
anelli unitari, commutativi, campi e corpi; definizione,
esempi, e prime proprietà. Divisori dello zero e domini di
integrità. Caratteristica di un anello.
Omo-mono-epi-isomorfismi di anelli e di anelli unitari,
nucleo di un morfismo di anelli, l'omomorfismo unitario. |
[CPR] IV.1, IV.2, parte del IV.3 |
| 19 |
4/12 |
Sottoanelli e ideali. Esercizi ed esempi su anelli, sottoanelli e ideali, anello di Boole. | [CPR] IV.4 |
| 20-21 |
6/12 |
Sottoanelli e ideali. Ideali
principali, PID. Intersezione di ideali e ideale somma.
Immagine e retroimmagine di sottoanelli e ideali tramite
omomorfismo. Anello quoziente e teorema fondamentale degli
omomorfismi di anelli. Svolgimento di alcuni esercizi del
foglio 5. |
[CPR] IV.4, IV.5 |
| 22-23 |
13/12 |
Gli interi e gli interi modulo
n. Divisori, multipli, massimo comune divisore, numeri primi
e coprimi. Formula di Bezout. Algoritmo di Euclide per la
ricerca del MCD, esempi/esercizi. Proprietà dei numeri
primi. Teorema cinese dei resti e sistemi di congruenze. |
[CPR] V.1, V.2 |
| 24-25 | 19/12 (mart!) |
Teorema
cinese dei resti e sistemi di congruenze, esempi. Proprietà
dei numeri primi, congruenze, congruenze di potenze e
piccolo teorema di Fermat. Svolgimento di alcuni esercizi del foglio 6. |
[CPR]
V.2, parte del V.3 |
| 26-27 |
20/12 |
Ideali primi e massimali,
definizione, proprietà, collegamento con campi e domini di
integrità. Anelli di polinomi: definizione, prime proprietà.
Domini euclidei. Divisione tra polinomi a coefficienti in un
campo: algoritmo euclideo. |
[CPR] IV.6, parte del VI.1 |
| Vacanze
di Natale 24/12/23-5/1/24 |
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| 28-29 |
10/1/24 (online) |
Divisione
tra polinomi: polinomi irriducibili, coprimi, MCD di
polinomi, identità di Bezout. I polinomi a coefficienti in
un campo sono un PID. In un PID gli ideali primi sono
massimali. Teorema di fattorizzazione unica per polinomi
(senza dim). Radici di polinomi, teorema di Ruffini e
conseguenze. Congruenza modulo un polinomio e polinomi
irriducibili: il quoziente modulo un polinomio irriducibile
è un campo. |
[CPR]
VI.1, VI.2, parte del VI.3 |
| 30 |
15/1/24 |
Svolgimento di alcuni esercizi del foglio 7. Polinomi irriducibili a coefficienti nei numeri complessi e reali. |
[CPR] parte del VI.4 e del VI.6 |
| 31-32 |
17/1/24 |
Polinomi irriducibili a coefficienti nei numeri complessi
e reali. Polinomi a coefficienti interi e razionali: polinomi primitivi, irriducibilità in Q, in Z, in Z_p. Lemma di Gauss, criteri di irriducibilità: 1 criterio e Eisenstein (senza dim). Svolgimento di alcuni esercizi del foglio 7. |
[CPR] VI.6, parte del VI.7, VI.8 |
| 33-34 |
18/1/24 (giov!) |
Estensioni di campi,
estensioni come spazi vettoriali e grado di un'estensione.
Estensioni semplici, espressioni razionali intere e fratte.
Elementi algebrici e trascendenti, polinomio minimo e sua
irriducibilità. Svolgimento di alcuni esercizi del foglio 8. |
[CPR] VII.1, VII.2 |