Diario delle lezioni e delle esercitazioni a.a. 2023/24
Ing.
Aerospaziale (LA-ZZ)
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Diario delle lezioni e delle esercitazioni a.a. 2023/24 Ing.
Aerospaziale (LA-ZZ)
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| Lezione |
Esercitazione |
Lezione+Esercitazione |
| Ottobre |
Argomento della lezione | Pagine |
| Lun 2 | Presentazione dell'insegnamento. | |
| Mar 3 | Richiami
sulle successioni: limite, teoremi, limiti notevoli, o" piccolo, equivalenza, formula di Stirling, scala degli infiniti,
sottosuccessione. Proprietà delle sottosuccessioni. |
Cap. 10 pag. 211 - 217 |
| Ven 6 |
Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate,
assolutamente convergenti. Serie notevoli: serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche, serie di Mengoli. Indipendenza del carattere di una serie da un numero finito di termini. |
Cap. 10 pag. 218 - 223 |
| Lun 9 |
Algebra delle serie. Condizione necessaria per la convergenza. Criteri per le serie a termini positivi: convergenza o divergenza. Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Criterio della radice e del rapporto. |
Cap. 10 pag. 224 - 232 |
| Mar 10 |
Osservazione sui limiti del rapporto e della radice. Criterio di Maclaurin. Serie armonica generalizzata. Osservazione sulle serie a termini negativi. Serie a termini di segno variabile. Criterio della convergenza assoluta. Convergenza assoluta della serie somma. Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz. Esempio: serie armonica a termini di segno alterno. |
Cap. 10 pag. 233 - 242 |
| Ven 13 | Esercizi sulle serie numeriche | |
| Lun
16 |
Lo spazio vettoriale R^n, somma, prodotto per uno scalare, differenza, prodotto scalare, norma, versori, vettori ortogonali;
prodotto vettoriale in R^3. Brevi richiami di topologia di R^n. Palla aperta e chiusa di centro un punto di R^n e raggio r>0. Punti interni, isolati, di accumulazione e di frontiera di un insieme. Parte interna, frontiera (o bordo) e chiusura di un insieme. Insiemi aperti, chiusi, limitati, illimitati, compatti. Caratterizzazione degli insiemi aperti e chiusi. Proprietà degli insiemi aperti e chiusi. |
Cap 1, pag. 5 -18 |
| Mar 17 | Funzioni di più variabili a valori reali e vettoriali. Dominio di una funzione di più variabili. Esempi. Componenti di una funzione. Funzioni invertibili e funzione inversa. Funzioni del cambiamento di coordinate: coordinate polari ed ellittiche nel piano, polari (o sferiche) e cilindriche nello spazio. |
Cap. 2, pag. 19 - 25 |
| Ven 20 | Esercizi sulle serie numeriche | |
| Lun 23 | Limiti di funzioni di più variabili. Proprietà algebriche. Limiti delle
componenti. Funzioni continue. Legame fra limite e continuità. Proprietà algebriche. Continuità per componenti. Esempi di funzioni continue :identità, proiezione sugli assi (o funzione componente), norma. Continuità della funzione composta. Limite della funzione composta. Proprietà della preimmagine di insiemi aperti e chiusi tramite funzioni continue. Teorema di Weierstrass. |
Cap. 3 pag. 27 - 34 |
| Mar 24 | Derivata di una funzione in un punto rispetto ad un vettore. Derivate
parziali. Interpretazione geometrica della derivata rispetto ad un vettore. Esempio. Gradiente. Linearità della derivata e del gradiente. Esempio di funzione che ammette tutte le derivate ma non è continua. |
Cap. 4 pag. 35, 42 |
| Ven 27 | Esercizi su derivate parziali, derivate rispetto ad un vettore, gradiente. | |
| Lun 30 | Funzione
differenziabile in un punto. Legame fra la differenziabilità, la continuità, le derivate rispetto ad un vettore (dimostrazione). Derivabilità e differenziabilità in una variabile. Matrice Jacobiana. Differenziale della funzione composta. Spazio duale di R^n e sua base canonica. | Cap.
4 pag. 43 - 47 |
| Mar 31 | Regola della catena. Un caso particolare. Teorema del differenziale totale. Piano tangente al grafico di una funzione reale di due variabili. Teorema del gradiente e sua interpretazione. Derivate seconde e derivate di ordine superiore. Esempio. Funzioni di classe C^k. Lemma di Schwarz. Formula di Taylor con il resto di Peano arrestata al primo e al secondo ordine per una funzione reale di due variabili. | Cap. 4 pag. 48 - 59, 62,63 |
| Novembre |
Argomento della lezione | Pagine |
| Ven 3 |
Esercizi sulle derivate parziali seconde, la matrice Jacobiana, sulla regola della catena. Domande teoriche sul calcolo differenziale. | |
| Lun 6 | Punto di massimo o di minimo locale/assoluto per una funzione di più variabili. Punti stazionari. Teorema di Fermat. Matrice Hessiana. Condizioni necessarie/sufficienti affinchè un punto sia di max, di min, di sella, in base al segno degli autovalori della matrice Hessiana. Esempi. |
Cap. 4 pag. 64 - 70 |
| Mar 7 |
Insiemi misurabili. Misura di un insieme. Insiemi trascurabili.
Caratterizzazione degli insiemi misurabili. Integrale multiplo di Riemann. Interpretazione geometrica e fisica. Misura di un insieme come integrale della funzione uguale a uno su quell'insieme. |
Cap. 5 pag. 99 - 104 |
| Ven 10 | Esercizi sui massimi e minimi liberi. | |
| Lun 13 | Proprietà dell'integrale multiplo:
linearità, monotonia, additività rispetto al dominio, monotonia rispetto al dominio. Calcolo degli integrali doppi. Insiemi x-semplici e y-semplici. Integrazione su insiemi x-semplici e y-semplici. Esempio. Integrazione di una funzione f(x,y)=g(x) h(y) su un rettangolo con lati paralleli agli assi cartesiani. |
Cap. 5 pag. 105 - 110 |
| Mar
14 |
Teorema del cambiamento di variabile negli integrali
doppi. Cambiamenti di coordinate notevoli nel piano: coordinate polari e ellittiche. Esempio di calcolo di un integrale doppio mediante cambiamento di coordinate. Integrali di funzioni simmetriche su insiemi simmetrici rispetto agli assi cartesiani. Calcolo degli integrali tripli: integrazione per fili paralleli ad un asse. |
Cap. 5 pag. 111 - 123 |
| Ven 17 | Esercizi sugli integrali doppi. | |
| Lun 20 | Calcolo degli integrali tripli: integrazione per strati paralleli ad un piano. Integrazione di una funzione f(x,y,z)=g(x) h(y) k(z) su un parallelepipedo con spigoli paralleli agli assi cartesiani. Esempio di calcolo di un integrale triplo utilizzando la formula di integrazione per fili paralleli all'asse z e per strati paralleli al piano xy. Teorema del cambiamento di variabile negli integrali tripli. Cambiamenti di coordinate notevoli nello spazio: coordinate polari (o sferiche) nello spazio e coordinate cilindriche. Esempio di calcolo di un integrale triplo mediante un cambiamento di variabili. |
Cap. 5 pag. 124 - 135 |
| Mar 21 | Curve
parametriche. Curve semplici, chiuse. Sostegno di una curva. Verso indotto da una curva semplice sul sostegno. Vettore tangente al sostegno di una curva in un punto. Curve regolari e curve regolari a tratti. Curve equivalenti. Proprietà delle curve equivalenti. |
Cap. 4 pag. 71 - 76, 80 - 85 |
| Ven 24 | Esercizi sugli integrali tripli. | |
| Lun 27 | Curve che hanno lo stesso sostegno ma inducono versi opposti. Aperto connesso per archi. Proprietà degli aperti connessi per archi. Integrale curvilineo di prima specie. Interpretazione fisica. Esempio. Indipendenza dell'integrale curvilineo di prima specie dalla parametrizzazione. Integrale curvilineo di prima specie su una curva regolare a tratti. Integrale curvilineo di seconda specie (o di linea). Interpretazione fisica. Esempio di calcolo di un integrale di linea. Dipendenza dell'integrale di linea dal verso indotto dalla curva parametrica sul sostegno. Integrale curvilineo di seconda specie (o di linea) su una curva regolare a tratti. |
Cap. 4 pag. 85 - 87 Cap. 6 pag. 143 - 150 |
| Mar 28 | Superfici
parametriche. Superfici semplici, regolari. Sostegno di una superficie.
Calotta regolare. Piano tangente ad una superficie, vettore
e versore normale al piano tangente alla superficie. Verso di attraversamento indotto dalla parametrizzazione sulla superficie. Superfici equivalenti e loro proprietà. Esempi di superfici parametriche: cilindro, superficie sferica, grafico di una funzione di due variabili. |
Cap. 4 pag. 88 - 97 |
| Dicembre |
Argomento della lezione | Pagine |
| Ven 1 |
Parametrizzazioni
di circonferenze, archi di circonferenza, ellissi, archi di ellisse e
segmenti nel piano, segmenti nello spazio, grafici di funzioni di una
variabile. Esercizi sugli integrali curvilinei e di linea. |
Cap. 4 pag. 74 - 80 |
| Lun 4 |
Integrale superficiale. Area di una superficie. Vettore normale al grafico di una funzione. Esempi di calcolo di aree di superfici e di integrali di superficie. Indipendenza dell'integrale superficiale dalla parametrizzazione. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Vettore normale uscente e entrante da una superficie: come riconoscerlo. Dipendenza del flusso di un campo dal verso indotto dalla parametrizzazione sul sostegno. |
Cap. 7 pag. 151 - 160, 164 |
| Mar 5 | Esercizi sugli integrali di superficie e di flusso. | |
| Lun 11 | Insiemi aperti nel piano con bordo orientato positivamente. Teorema di Green. Esempio. Conseguenze del Teorema di Green. Esempio. Bordo di una calotta regolare orientato positivamente. |
Cap. 8 pag. 167 - 173 |
| Mar 12 | Teorema di Stokes. Invarianza, rispetto alla superficie, del flusso del rotore di un campo attraverso una superficie. Esempio di applicazione del Teorema di Stokes. Aperto con bordo. Teorema di Gauss. Flusso del rotore di un campo attraverso il bordo di un insieme. |
Cap. 8 pag. 174 - 182 |
| Ven 15 | Esercizi sui teoremi di Green, Stokes, Gauss. | |
| Lun 18 | Campi conservativi e potenziali. Campi radiali. Conservatività
di un campo radiale continuo. Esempio: campo elettrostatico. Proprietà dei potenziali. |
Cap. 9 pag. 187 - 192 |
| Mar 19 | Integrale di linea di un campo vettoriale conservativo. Conseguenze del teorema sull'integrale di linea di un campo conservativo. Teorema di equivalenza sui campi conservativi. Condizione necessaria per i campi di classe C^1. Campi irrotazionali. Esempio di campo irrotazionale che non è conservativo. Insiemi semplicemente connessi. Condizione sufficiente per i campi di classe C^1. |
Cap. 9 pag. 193 - 203 |
| Ven 22 | Esercizi sui campi conservativi. |
| Gennaio
2024 |
Argomento della lezione | Pagine |
| Lun 8 |
Definizione di potenziale vettore e di campo vettoriale che ammette potenziale vettore. Definizione di superficie chiusa. Campi vettoriali solenoidali. Caratterizzazione dei campi solenoidali. Proprietà dei campi che ammettono potenziale vettore: solenoidalità. |
Appunti su Potenziale vettore, campi solenoidali e campi indivergenti pag 1 - 6 |
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Mar 9 |
Definizione di campo vettoriale indivergente. Condizione necessaria affinché un campo vettoriale ammetta potenziale vettore. Condizione necessaria affinché un campo vettoriale sia solenoidale. Esempio di campo indivergente che non è solenoidale e non ammette potenziale vettore. Insiemi aperti stellati. Condizione sufficiente affinché un campo vettoriale di classe C^1 ammetta potenziale vettore/sia solenoidale. Altra propietà dei campi solenoidali. Determinazione di un potenziale vettore: risoluzione del sistema rotG=F mediante opportune ipotesi su G. Esempio di un campo vettoriale che ammette potenziale vettore anche se il dominio non è stellato. Tabella comparativa fra campi conservativi e campi che ammettono potenziale vettore. |
Appunti su Potenziale vettore, campi solenoidali e campi indivergenti pag 7 - 20 |
| Ven 12 | Esercizi su potenziale vettore, campi solenoidali e campi indivergenti. | |
| Lun 15 | Brevissimo cenno alle
successioni di funzioni. Convergenza puntuale. Esempio. Brevissimo cenno alle serie di funzioni. Convergenza puntuale e assoluta. Esempio. Funzioni periodiche. Proprietà delle funzioni periodiche. Serie di Fourier di una funzione periodica. | Cap. 11 pag. 257, 259 Cap. 12 pag. 267, 268, 301 - 303 |
| Mar 16 | Esempio di serie di Fourier di una funzione periodica di periodo 2π. Polinomio trigonometrico di grado n associato ad una funzione periodica di periodo 2π. Armoniche: ampiezza, frequenza, fase. Teorema di convergenza quadratica della serie di Fourier. Identità di Parseval. Teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier. Pseudo derivate. Esercizi sulle serie di Fourier. | Cap. 12 pag. 304 - 310 |
| Ven 19 | Forma esponenziale o complessa della serie di Fourier di una funzione periodica di periodo 2π. Esercizi sulle serie di Fourier. | Cap. 12 pag. 311 - 313 |