Diario delle lezioni e delle esercitazioni a.a. 2021/22
Ing. Aerospaziale (AA-KZ)
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Diario delle lezioni e delle esercitazioni a.a. 2021/22 Ing. Aerospaziale (AA-KZ)
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| Lezione |
Esercitazione |
Lezione/Esercitazione |
| Ottobre |
Argomento della lezione | Pagine |
| Lun 27/09 |
Presentazione del corso
(pdf) e di Aero-Math
Cup (pdf). |
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| Mar 28/09 |
Lo spazio vettoriale R^n, prodotto scalare, norma. Proprietà
della
norma. Versori, vettori ortogonali, prodotto vettoriale in R^3.
Proprietà del prodotto vettoriale. Brevi richiami di topologia di R^n. Palla aperta e chiusa di centro un punto con un certo raggio. |
Cap 1, pag. 5 -12 |
| Ven 1 |
Punti interni, isolati, di accumulazione e di frontiera di un
insieme. Parte interna, frontiera (o bordo) e chiusura di un insieme. Insiemi aperti, chiusi, limitati, illimitati, compatti. Caratterizzazione degli insiemi aperti e chiusi. Proprietà degli insiemi aperti e chiusi. Funzioni reali di più variabili. Dominio di una funzione di più variabili. Esempio. |
Cap 1, pag. 13 - 18 Cap. 2, pag. 19 - 21 |
| Lun 4 | Esercizi sui domini. |
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| Mar 5 | Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Componenti di una funzione. Funzioni invertibili e funzione inversa. Funzionidel cambiamento di coordinate nel piano e nello spazio: coordinate polari ed ellittiche nel piano, coordinate sferiche e cilindriche nello spazio. Limiti di funzioni di più variabili. Definizioni di limite per x-->x_0 uguale ad un vettore o a + infinito o - infinito e, analogamente per ||x|| che tende a + infinito. Teorema di unicià del limite. |
Cap. 2, pag. 21 - 25 Cap. 3 pag. 27 - 29 |
| Ven
8 |
Proprietà algebriche. Limiti delle
componenti. Funzioni continue. Legame fra limite e continuità. Proprietà algebriche. Continuità per componenti. Esempi di funzioni continue: identità, proiezione sugli assi, norma. Continuità della funzione composta. Proprietà della preimmagine di insiemi aperti e chiusi trami tefunzioni continue. Teorema di Weierstrass. Derivata di una funzione in un punto rispetto ad un vettore. Derivate parziali. |
Cap. 3 pag. 30 - 34 Cap. 4 pag. 35 |
| Lun
11 |
Interpretazione
geometrica della derivata rispetto ad un vettore. Esempio. Gradiente. Linearità della derivata e del gradiente. Esempio di funzione che ammette tutte le derivate ma non è continua. |
Cap.
4 pag. 36 - 39, 41 - 42 |
| Mar 12 | Richiami sulle applicazioni lineari. Funzione differenziabile in un punto. Legame fra la differenziabilità, la continuità, le derivate rispetto ad un vettore(dimostrazione). Derivabilità e differenziabilità in una variabile. Matrice Jacobiana. Differenziale della funzione composta. Regola della catena: caso particolare. |
Cap.
4 pag. 43 - 49 |
| Ven 15 | Esercizi su derivate parziali, derivate rispetto ad un vettore, gradiente,differenziale, piano tangente. | |
| Lun 18 |
Teorema del differenziale totale. Piano tangente al grafico di una funzione reale di due variabili. Teorema del gradiente e sua interpretazione. Derivate seconde e derivate di ordine superiore. Esempio. Funzioni di classe C^k. |
Cap.
4 pag. 50 - 56 |
| Mar 19 | Lemma di Schwarz. Formula di Taylor con il resto di Peano arrestata al primo e al secondo ordine per una funzione reale di due variabili. Punto di massimo o di minimo locale/assoluto per una funzione di più variabili. Teorema di Weierstrass. Punti stazionari. Teorema di Fermat. Matrice Hessiana. Condizioni necessarie/sufficienti affinchè un punto sia di max, dimin, di sella, in base al segno degli autovalori della matrice Hessiana. Esempio. |
Cap. 4 pag. 57 - 70 |
| Ven 22 | Esercizi
sulla regola della catena e la formula di Taylor. Esercizi sui massimi e minimi locali. |
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| Lun 25 | Insiemi misurabili. Misura di un insieme. Insiemi trascurabili.
Caratterizzazione degli insiemi misurabili. Integrale multiplo di Riemann. Interpretazione geometrica e fisica. Misura di uninsieme come integrale della funzione uguale a uno su quell'insieme. Proprietà dell'integrale multiplo:linearità, monotonia, additività rispetto al dominio, monotonia rispetto al dominio. |
Cap. 5 pag. 99 - 105 |
| Mar 26 | Calcolo degli integrali doppi. Insiemi x-semplici e y-semplici.
Integrazione su insiemi x-semplici e y-semplici. Esempio. Integrazione di una funzione f(x,y)=g(x) h(y) su un rettangolo con lati paralleli agli assi cartesiani. Teorema del cambiamento di variabile negli integrali doppi. |
Cap. 5 pag. 106 - 111 |
| Ven 29 | Esercizi sugli integrali doppi. |
| Novembre |
Argomento della lezione | Pagine |
| Mar 2 | Cambiamenti di coordinate notevoli nel piano: coordinate polari e
ellittiche. Integrali di funzioni simmetriche su insiemi simmetrici rispetto agli assi cartesiani. Calcolo degli integrali tripli: integrazione per fili paralleli ad un asse e per strati paralleli ad un piano. Integrazione di una funzione f(x,y,z)=g(x) h(y) k(z) su un parallelepipedo con spigoli paralleli agli assi cartesiani. Esempio di calcolo di integrale triplo utilizzando la formula di integrazione per fili paralleli all'asse z. |
Cap. 5 pag. 114 - 116, 118 -128 |
| Ven 5 |
Teorema del cambiamento di variabile negli integrali tripli. Cambiamenti di coordinate notevoli nello spazio: coordinate polari (o sferiche) nello spazio e coordinate cilindriche. Esempio di calcolo di un integrale triplo mediante un cambiamento di variabili. |
Cap. 5 pag. 129 -135 |
| Lun 8 | Esercizi sugli integrali tripli. | |
| Mar 9 |
Curve
parametriche. Curve semplici, chiuse.Sostegno di una curva. Verso indotto da una curva semplice sul
sostegno. Curve chiuse. Esempi. Parametrizzazione di una circonferenza nel piano. Vettore tangente al sostegno di una curva in un punto. Curve regolari e regolari a tratti. Curve equivalenti. Proprietà delle curve equivalenti. |
Cap. 4 pag. 71 - 76, 80 - 85 |
| Ven 12 |
Curve che hanno lo stesso sostegno ma inducono versi opposti. Aperto connesso per archi. Integrale curvilineo di prima specie. Interpretazione fisica. Esempio. Indipendenza dell'integrale curvilineo di prima specie dalla parametrizzazione. Integrale curvilineo di prima specie su una curva regolare a tratti. Integrale curvilineo di seconda specie o di linea. Interpretazione fisica. Esempio. Esempio di calcolo di un integrale di linea. Dipendenza dell'integrale di linea dal verso indotto dalla curva parametrica sul sostegno. Integrale curvilineo di seconda specie o di linea su una curva regolare a tratti. |
Cap.
4 pag. 86 - 87 Cap. 6 pag. 143 - 150 |
| Lun 15 | Superfici
parametriche. Superfici semplici, regolari. Sostegno di una
superficie. Calotta regolare. Piano tangente ad una superficie, vettore
e versore normale al piano tangente alla superficie. Verso di attraversamento indotto dalla parametrizzazione sulla superficie. Superfici equivalenti e loro proprietà. Esempi di superfici parametriche: cilindro. |
Cap. 4 pag. 88 - 94 |
| Mar 16 |
Parametrizzazioni
di circonferenze, archi di circonferenza, ellissi, archi di ellisse e
segmenti nel piano, segmenti nello spazio, grafici di funzioni di una
variabile. Esercizi sugli integrali curvilinei e di linea. |
Cap. 4 pag. 74 - 80 |
| Ven 19 | Esempi di superfici
parametriche: superficie sferica, grafico di una funzione. Integrale superficiale. Area di una superficie. Vettore normale al grafico di una funzione. Indipendenza dell'integrale superficiale dalla parametrizzazione. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. |
Cap. 4 pag. 95 - 97 Cap. 7 pag. 151 - 153, 157 - 159 |
| Lun 22 | Esercizi sugli integrali di superficie e di flusso. | |
| Mar 23 | Insiemi aperti con bordo orientato positivamente. Teorema di Green. Esempio. Conseguenze del teorema di Green. Esempio. Bordo di una calotta regolare orientato positivamente. |
Cap. 8 pag. 167 - 173 |
| Ven 26 | Teorema di Stokes. Invarianza, rispetto alla superficie, del flusso del rotore di un campo attraverso una superficie. Esempio di applicazione del Teorema di Stokes. Aperto con bordo. Teorema di Gauss. Esempio. Flusso del rotore di un campo attraverso il bordo di un insieme. |
Cap. 8 pag. 174 - 182 |
| Lun 29 | Campi conservativi e potenziali. Campi radiali. Conservatività di un campo radiale continuo. Campo gravitazionale e campo elettrico. Proprietà dei potenziali. |
Cap. 9 pag. 187 - 192 |
| Mar 30 | Esercizi sui teoremi di Green, Stokes, Gauss. |
| Dicembre |
Argomento della lezione | Pagine |
| Ven 3 |
Integrale di linea di un campo vettoriale conservativo. Conseguenze del teorema sull'integrale di linea di un campo conservativo. Teorema di equivalenza sui campi conservativi. Condizione necessaria per i campi di classe C^1. Campi irrotazionali. Esempio di campo irrotazionale che non è conservativo. Insiemi semplicemente connessi. Condizione sufficiente per i campi di classe C^1. |
Cap. 9 pag. 193 - 194, 197 - 203 |
| Lun 6 |
Esercizi sui campi conservativi. Modalità d'esame. |
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| Mar 7 | Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate,
convergenti assolutamente. Serie notevoli: serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie telescopiche, serie di Mengoli. Indipendenza del carattere di una serie da un numero finito di termini. Algebra delle serie. Condizione necessaria per la convergenza. |
Cap. 10 pag. 219 - 225 |
| Ven 10 | Criteri per le serie a termini positivi: convergenza o
divergenza. Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Criterio della radice e del rapporto. Osservazione sui limiti del rapporto e della radice. Criterio di Maclaurin. Serie armonica generalizzata. |
Cap. 10 pag. 225 - 237 |
| Lun 13 |
Osservazione sulle serie a termini negativi. Serie a termini di segno variabile. Criterio della convergenza assoluta e sue conseguenze. Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz. Esempio: serie armonica a termini di segno alterno. Corollario al Criterio di Leibniz. Esercizi sulle serie numeriche. |
Cap. 10 pag. 238 - 243 |
| Mar 14 | Esercizi sulle serie numeriche. | |
| Ven 17 | Esercizi sulle serie numeriche. | |
| Lun 20 | Breve cenno alle
successioni di funzioni. Convergenza puntuale. Esempio. Breve cenno alle serie di funzioni. Convergenza puntuale e assoluta. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Teorema sull'insieme di convergenza (solo convergenza puntuale). Teorema della radice. Teorema del rapporto. Esempi di serie di potenze. Continuità della somma di una serie di potenze. |
Cap.
11 pag. 257, 259. Cap. 12 pag. 267, 268, 274, 275 - 281 |
| Mar 21 |
Integrazione e derivazione termine a termine per serie di potenze. Applicazioni di questi teoremi per calcolare la somma di alcune serie di potenze. Sviluppo in serie di Maclaurin di f(x)=log(1+x). Esercizi sulle serie di potenze. |
Cap. 12 pag. 282, 283, 286, 287, 293, 294 |
| Gennaio 2022 |
Argomento della lezione | Pagine |
| Lun
10 |
Funzioni periodiche. Proprietà delle funzioni periodiche. Serie di Fourier di una funzione periodica. Esempio. Polinomio trigonometrico di grado n associato ad una funzione periodica di periodo 2π. Armoniche: ampiezza, frequenza, fase. Teorema di convergenza quadratica della serie di Fourier. Identità di Parseval. |
Cap. 12 pag. 301 - 309 |
| Mar 11 | Teorema di convergenza puntuale della serie di
Fourier. Pseudo derivate. Forma esponenziale o complessa della serie di Fourier di una funzione periodica di periodo 2π. Esercizi sulle serie di Fourier. |
Cap. 12 pag. 309 - 313 |
| Ven 14 | Esercizi di ripasso. |