Diario delle lezioni e delle esercitazioni a.a. 2022/23
Ing.
Aerospaziale (AA-KZ)
|
Diario delle lezioni e delle esercitazioni a.a. 2022/23 Ing.
Aerospaziale (AA-KZ)
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
| Lezione |
Esercitazione |
Lezione+Esercitazione |
| Ottobre |
Argomento della lezione | Pagine |
| Mar
27/9 |
Presentazione dell'insegnamento. | |
| Ven 30/9 | Richiami
sulle successioni: limite, teoremi, limiti notevoli, o" piccolo,
equivalenza, formula di Stirling, scala degli infiniti,
sottosuccessione.
Proprietà delle sottosuccessioni. Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate, convergenti assolutamente. |
Cap. 10 pag. 211 - 219 |
| Lun 3 | Serie notevoli: serie geometrica, serie armonica generalizzata, serie
telescopiche, serie di Mengoli. Indipendenza del carattere di una serie da un numero finito di termini. Algebra delle serie. Condizione necessaria per la convergenza. Criteri per le serie a termini positivi: convergenza o divergenza. |
Cap. 10 pag. 220 - 226 |
| Mar 4 | Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Criterio della radice e del rapporto. Osservazione sui limiti del rapporto e della radice. Criterio di Maclaurin. Serie armonica generalizzata. Osservazione sulle serie a termini negativi. Serie a termini di segno variabile. Criterio della convergenza assoluta. |
Cap. 10 pag. 225 - 238 |
| Ven 7 |
Convergenza assoluta della serie somma. Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz. Esempio: serie armonica a termini di segno alterno. Esercizi sulle serie numeriche. |
Cap. 10 pag. 239 - 242 |
| Lun 10 |
Lo spazio vettoriale R^n, somma, prodotto per uno scalare, differenza, prodotto scalare, norma, versori, vettori ortogonali;
prodotto vettoriale in R^3. Brevi richiami di topologia di R^n. Palla aperta e chiusa di centro un punto di R^n e raggio r>0. Punti interni, isolati, di accumulazione e di frontiera di un insieme. Parte interna, frontiera (o bordo) e chiusura di un insieme. Insiemi aperti, chiusi, limitati, illimitati, compatti. Caratterizzazione degli insiemi aperti e chiusi. Proprietà degli insiemi aperti e chiusi. |
Cap 1, pag. 5 -18 |
| Mar 11 | Funzioni di più variabili a valori reali e vettoriali. Dominio di una funzione di più variabili. Esempi. Componenti di una funzione. Funzioni invertibili e funzione inversa. Funzioni del cambiamento di coordinate nel piano: coordinate polari ed ellittiche nel piano, polari (o sferiche) e cilindriche nello spazio. |
Cap. 2, pag. 19 - 25 |
| Ven 14 | Esercizi sulle serie numeriche. | |
| Lun
17 |
Limiti di funzioni di più variabili. Proprietà algebriche. Limiti delle
componenti. Funzioni continue. Legame fra limite e continuità. Proprietà algebriche. Continuità per componenti. Esempi di funzioni continue: identità, proiezione sugli assi (o funzione componente), norma. Continuità della funzione composta. Limite della funzione composta. Proprietà della preimmagine di insiemi aperti e chiusi tramite funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Esercizi sui domini. |
Cap. 3 pag. 27 - 34 |
| Mar 18 | Derivata di una funzione in un punto rispetto ad un vettore. Derivate
parziali. Interpretazione geometrica della derivata rispetto ad un vettore. Esempio. Gradiente. Linearità della derivata e del gradiente. Esempio di funzione che ammette tutte le derivate ma non è continua. |
Cap. 4 pag. 35, 42 |
| Ven 21 | Funzione
differenziabile in un punto. Legame fra la differenziabilità, la continuità, le derivate rispetto ad un vettore (dimostrazione). Derivabilità e differenziabilità in una variabile. Matrice Jacobiana. Differenziale della funzione composta. Spazio duale di R^n e sua base canonica. Regola della catena: caso particolare. |
Cap.
4 pag. 43 - 49 |
| Lun 24 | Teorema del differenziale totale. Piano tangente al grafico di una funzione reale di due variabili. Teorema del gradiente e sua interpretazione. Derivate seconde e derivate di ordine superiore. Esempio. Funzioni di classe C^k. Lemma di Schwarz. |
Cap. 4 pag. 50 - 59 |
| Mar 25 | Esercizi su derivate parziali, derivate rispetto ad un vettore, gradiente e differenziale. | |
| Ven 28 | Esercizi sulle derivate parziali seconde, la matrice Jacobiana, sulla regola della catena. Domande teoriche sul calcolo differenziale. |
| Novembre |
Argomento della lezione | Pagine |
| Ven 4 |
Formula di Taylor con il resto di Peano arrestata al primo e al secondo
ordine per una funzione reale di due variabili. Punto di massimo o di minimo locale/assoluto per una funzione di più variabili. Teorema di Weierstrass. Punti stazionari. Teorema di Fermat. Matrice Hessiana. Condizioni necessarie/sufficienti affinchè un punto sia di max, di min, di sella, in base al segno degli autovalori della matrice Hessiana. Esempi. |
Cap. 4 pag. 62 - 70 |
| Lun 7 | Esercizi sui massimi e minimi liberi. | |
| Mar 8 |
Insiemi misurabili. Misura di un insieme. Insiemi trascurabili.
Caratterizzazione degli insiemi misurabili. Integrale multiplo di Riemann. Interpretazione geometrica e fisica. Misura di un insieme come integrale della funzione uguale a uno su quell'insieme. Proprietà dell'integrale multiplo: linearità, monotonia, additività rispetto al dominio, monotonia rispetto al dominio. |
Cap. 5 pag. 99 - 105 |
| Ven 11 | Calcolo degli integrali doppi. Insiemi x-semplici e y-semplici.
Integrazione su insiemi x-semplici e y-semplici. Esempio. Integrazione di una funzione f(x,y)=g(x) h(y) su un rettangolo con lati paralleli agli assi cartesiani. Teorema del cambiamento di variabile negli integrali doppi. |
Cap. 5 pag. 106 - 113 |
| Lun 14 | Cambiamenti di coordinate notevoli nel piano: coordinate polari e
ellittiche. Integrali di funzioni simmetriche su insiemi simmetrici rispetto agli assi cartesiani. Calcolo degli integrali tripli: integrazione per fili paralleli ad un asse e per strati paralleli ad un piano. Integrazione di una funzione f(x,y,z)=g(x) h(y) k(z) su un parallelepipedo con spigoli paralleli agli assi cartesiani. Esercizi sugli integrali doppi. |
Cap. 5 pag. 114 - 116, 118 -125 |
| Mar
15 |
Esempio di calcolo di un integrale triplo utilizzando la formula di
integrazione per fili paralleli all'asse z e per strati paralleli al piano xy. Teorema del cambiamento di variabile negli integrali tripli. Cambiamenti di coordinate notevoli nello spazio: coordinate polari (o sferiche) nello spazio e coordinate cilindriche. Esempio di calcolo di un integrale triplo mediante un cambiamento di variabili. Integrali di funzioni simmetriche su insiemi simmetrici rispetto ai piani cartesiani. |
Cap. 5 pag. 126 - 137 |
| Ven 18 | Esercizi sugli integrali tripli. | |
| Lun 21 | Curve
parametriche. Curve semplici, chiuse. Sostegno di una curva. Verso indotto da una curva semplice sul sostegno. Vettore tangente al sostegno di una curva in un punto. Curve regolari e curve regolari a tratti. Curve equivalenti. Proprietà delle curve equivalenti. Curve che hanno lo stesso sostegno ma inducono versi opposti. Aperto connesso per archi. Proprietà degli aperti connessi per archi. |
Cap. 4 pag. 71 - 76, 80 - 87 |
| Mar 22 | Integrale curvilineo di prima specie. Interpretazione fisica. Esempio. Indipendenza dell'integrale curvilineo di prima specie dalla parametrizzazione. Integrale curvilineo di prima specie su una curva regolare a tratti. Integrale curvilineo di seconda specie o di linea. Interpretazione fisica. Esempio di calcolo di un integrale di linea. Dipendenza dell'integrale di linea dal verso indotto dalla curva parametrica sul sostegno. Integrale curvilineo di seconda specie o di linea su una curva regolare a tratti. |
Cap. 6 pag. 143 - 150 |
| Ven 25 | Parametrizzazioni
di circonferenze, archi di circonferenza, ellissi, archi di ellisse e
segmenti nel piano, segmenti nello spazio, grafici di funzioni di una
variabile. Esercizi sugli integrali curvilinei e di linea. |
Cap. 4 pag. 74 - 80 |
| Lun 28 | Superfici
parametriche. Superfici semplici, regolari. Sostegno di una
superficie. Calotta regolare. Piano tangente ad una superficie, vettore
e versore normale al piano tangente alla superficie. Verso di attraversamento indotto dalla parametrizzazione sulla superficie. Superfici equivalenti e loro proprietà. Esempi di superfici parametriche: cilindro, superficie sferica, grafico di una funzione di due variabili. |
Cap. 4 pag. 88 - 97 |
| Mar 29 | Integrale superficiale. Area di una superficie. Vettore normale al grafico di una funzione. Esempi di calcolo di aree di superfici e di integrali di superficie. Indipendenza dell'integrale superficiale dalla parametrizzazione. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Vettore normale uscente e entrante da una superficie: come riconoscerlo. Dipendenza del flusso di un campo dal verso indotto dalla parametrizzazione sul sostegno. |
Cap. 7 pag. 151 - 160, 164 |
| Dicembre |
Argomento della lezione | Pagine |
| Ven 2 |
Esercizi sugli integrali di superficie e di flusso. | |
| Lun 5 |
Insiemi aperti con bordo orientato positivamente. Teorema di Green. Esempio. Conseguenze del teorema di Green. Esempio. Bordo di una calotta regolare orientato positivamente. |
Cap. 8 pag. 167 - 173 |
| Mar 6 | Teorema di Stokes. Invarianza, rispetto alla superficie, del flusso del rotore di un campo attraverso una superficie. Esempio di applicazione del Teorema di Stokes. Aperto con bordo. Teorema di Gauss. Esempio. Flusso del rotore di un campo attraverso il bordo di un insieme. |
Cap. 8 pag. 174 - 182 |
| Lun 12 | Campi conservativi e potenziali. Campi radiali. Conservatività
di un campo radiale continuo. Esempio: campo elettrostatico. Proprietà dei potenziali. Esercizi sui teoremi di Green, Stokes, Gauss. |
Cap. 9 pag. 187 - 192 |
| Mar 13 | Integrale di linea di un campo vettoriale conservativo. Conseguenze del teorema sull'integrale di linea di un campo conservativo. Teorema di equivalenza sui campi conservativi. Condizione necessaria per i campi di classe C^1. Campi irrotazionali. Esempio di campo irrotazionale che non è conservativo. Insiemi semplicemente connessi. Condizione sufficiente per i campi di classe C^1. |
Cap. 9 pag. 193 - 203 |
| Ven 16 | Esercizi sui campi conservativi. | |
| Lun 19 | Breve cenno alle
successioni di funzioni. Convergenza puntuale. Esempio. Breve cenno alle serie di funzioni. Convergenza puntuale e assoluta. Serie di potenze. Raggio di convergenza. Teorema sull'insieme di convergenza (solo convergenza puntuale). Teorema della radice. Teorema del rapporto. Continuità della somma di una serie di potenze. |
Cap.
11 pag. 257, 259. Cap. 12 pag. 267, 268, 274, 275 - 280 |
| Mar 20 | Esempi di serie di potenze. Integrazione e derivazione termine a termine per serie di potenze. Applicazioni di questi teoremi per calcolare la somma di alcune serie di potenze. Sviluppo in serie di Maclaurin di f(x)=log(1+x). |
Cap. 12 pag. 281 - 283, 286, 287, 293, 294 |
| Gennaio
2023 |
Argomento della lezione | Pagine |
| Lun 9 |
Funzioni periodiche. Proprietà delle funzioni periodiche. Serie di Fourier di una funzione periodica. Esempio. Polinomio trigonometrico di grado n associato ad una funzione periodica di periodo 2π. Armoniche: ampiezza, frequenza, fase. Teorema di convergenza quadratica della serie di Fourier. Identità di Parseval. |
Cap. 12 pag. 301 - 309 |
|
Mar 10 |
Teorema di convergenza puntuale della serie di
Fourier. Pseudo derivate. Forma esponenziale o complessa della serie di Fourier di una funzione periodica di periodo 2π. Esercizi sulle serie di Fourier. |
Cap. 12 pag. 310 - 313 |
| Ven 13 | Esercizi sulle serie di Fourier. Esercizi sulle serie di potenze. |