Registro lezioni (parte di geometria), a.a. 2022-2023
Lezione |
Data |
Argomenti trattati |
Rif. dispense |
Note
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| 1 | 27/2 | Matrici a coefficienti reali. Opposto e trasposta di una matrice, e proprietà. Matrici quadrate: diagonali, triangolari, simmetriche, antisimmetriche. Somma e prodotto per scalare: definizione e proprietà. Esempi. | 1.1,
1.2, 1.3 |
|
| 1/3 | "Esercitazione":
prodotto tra matrici: definizione ed esempi, proprietà del
prodotto tra matrici. Potenze di una matrice quadrata.
Matrici invertibili, matrice inversa, proprietà. Matrici
nilpotenti. Inversa della trasposta e del prodotto. |
2.1,
2.3 |
Esercizi |
|
| 2-3 | 2/3 | Algebra
lineare su campi numerici diversi da R. Equazioni e sistemi di equazioni lineari, soluzioni. Matrici associate e forma matriciale di un sistema lineare. Sistemi omogenei, compatibili, esempi. Matrici ridotte e fortemente ridotte per righe, esempi. Sistemi e matrici equivalenti. Operazioni elementari di riga e matrici equivalenti per righe. Matrici elementari. Rango. Risoluzione di sistemi: teorema di Rouché-Capelli, esempi. |
2.4 3.1, 3.2 4.1, 4.2, 4.3 5.1 |
|
| 4 | 3/3 | Esempi
di risoluzione di sistemi lineari, teorema di
Rouché-Capelli. Equazioni matriciali lineari e soluzioni: calcolo dell'inversa mediante riduzione per righe. Matrici invertibili e rango. Complessità del prodotto tra matrici e algoritmo di Strassen. |
5.2,
5.3 2.2 |
Esercizi |
| 5-6 | 9/3 | Operazioni
elementari per colonna, rango della trasposta. Determinanti: sottomatrici, cofattori, definizione, esempi. Sviluppo di Laplace rispetto alle righe e alle colonne. Determinante e operazioni elementari. Determinante della trasposta. Teorema di Binet e caratterizzazione delle matrici invertibili, matrice aggiunta, calcolo dell'inversa tramite l'aggiunta, esempi. Vettori geometrici: segmenti, vettori applicati, direzione, verso e modulo di un vettore, versori. Vettori paralleli, concordi, discordi, complanari. |
5.4 6.1, 6.2, 6.3 7.1 |
Esercizi |
| 15/3 | Esercitazione dott. Canino | |||
| 7-8 | 16/3 | Sistemi
di riferimento cartesiani nel piano e nello spazio.
Operazioni sui vettori: somma e differenza, prodotto per
scalare. Proprietà di queste operazioni ed esempi.
Caratterizzazione di vettori paralleli e complanari tramite
rango di matrice. Esercitazione: quiz su matrici e sistemi lineari. |
7.2,
7.3, 7.4, 7.5 |
File
quiz File con soluzioni |
| 9 | 17/3 | Prodotto
scalare tra vettori: definizione, esempi, proprietà.
Prodotto scalare e angoli: vettori paralleli e ortogonali.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e disuguaglianza
triangolare. Proiezione ortogonale. Esempi. |
8.1 |
Esercizi |
| 10-11 | 23/3 | Prodotto
vettoriale: definizione, interpretazione geometrica,
proprietà, esempi. Prodotto vettoriale e area. Prodotto
misto, definizione e collegamento col volume del tetraedro.
Equazioni parametriche di rette nel piano e nello spazio.
Posizioni reciproche di due rette nel piano e nello spazio.
Esempi. Equazioni parametriche di piani nello spazio. |
8.2,
8.3 9.1, 9.2 |
Esercizi |
| 12 | 24/3 | Esercizi
e quiz su vettori. Equazioni cartesiane di rette nel piano e passaggio eq. parametriche <--> cartesiane, esempi. |
10.2 |
|
| 29/3 | Esercitazione dott. Canino | |||
| 13-14 |
30/3 | Equazioni
cartesiane di piani nello spazio: definizione ed esempi.
Passaggio da equazione cartesiana a parametrica e viceversa.
Posizioni relative di piani e equazioni cartesiane di rette
nello spazio. Passaggio da equazione cartesiana a
parametrica e viceversa. Posizioni relative di una retta e
un piano, esempi. Posizioni relative di 2 rette nello
spazio, esempi. |
10.1,
10.2, 10.3 |
Esercizi (sono tanti ma avete tutte le vacanze di Pasqua per farli!) |
| 15 |
31/3 |
Esercizi su rette e piani in S_3. Fasci propri e impropri di piani: definizione ed esempi. |
10.3 |
|
| 6-12/4 | Vacanze
di Pasqua |
|||
| 16-17 | 13/4 | Minima
distanza tra insiemi, distanza punto-piano, punto-retta,
piano-piano, piano-retta, retta-retta, con esempi. |
11.1,
11.2, 11.3, 11.4 |
Esercizi |
| 18 | 14/4 | Esercitazione:
quiz su rette, piani, distanze. |
File
quiz File quiz con soluzioni |
|
| 19/4 | Esercitazione dott. Canino | |||
| 19-20 | 20/4 |
Spazi
vettoriali e sottospazi: definizioni, prime proprietà,
esempi. Intersezione, somma e somma diretta di sottospazi
vettoriali, esempi. Combinazioni lineari, generatori,
sottospazi generati, spazi vettoriali finitamente generati:
definizioni ed esempi. |
12.1,
12.3, 12.3 13.1 |
Esempio
"strano" di spazio vettoriale |
| 21 | 21/4 |
Esercizi
su spazi vettoriali e combinazioni lineari. Dipendenza e
indipendenza lineare, definizione, esempi, proprietà. Metodo
degli scarti, esempi. |
13.1,
13.2 14.1 |
Esercizi Soluzione dell'esempio "strano" di sv |
| 22-23 | 27/4 | Basi
di uno spazio vettoriale: definizione, base canonica. Esempi
di basi di uno spazio vettoriale, coordinate di un vettore
rispetto a una base. Estrarre e completare una base.
Cardinalità delle basi e dimensione di uno spazio
vettoriale. Dimensione di sottospazi, esempi. Formula di
Grassmann. |
14.2 15.1, 15.2, 15.4 |
Sketch
della dim. del lemma di Steinitz |
| 24 | 28/4 |
Dimensione
e rango di matrici: spazio riga e spazio colonna. Esempi e
esercizi. Applicazioni lineari: prime definizioni, esempi, proprietà. |
15.3 16.1 |
Esercizi
Soluzione esercizio "per casa" |
| 3/5 | Esercitazione dott. Canino | |||
| 25-26 | 4/5 |
Applicazioni
lineari, nucleo e immagine: proprietà e caratterizzazione,
esempi. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Nucleo
e immagine e rango della matrice associata per mappe
K^n-->K^m. Isomorfismi. spazi isomorfi, matrici
invertibili. Esempi. |
16.2,
16.3, 16.4 |
Esercizi |
| 27-28 | 11/5 |
Applicazioni lineari tra spazi di dimensione finita. Matrice associata a un'applicazione lineare: definizione ed esempi. Teorema della dimensione, esempi. Endomorfismi. Matrice di cambiamento di base: definizione ed esempi. | 17.1,
17.2, 17.3 |
Esercizi Note informali sul cambio base |
| 29 | 12/5 |
Esercizi
e quiz su spazi vettoriali e applicazioni lineari. |
File
quiz File quiz con soluzioni |
|
| 17/5 | Esercitazione dott. Canino | |||
| 30-31 |
18/5 |
Autovalori,
autovettori, autospazi di un endomorfismo e di una matrice,
polinomio caratteristico, ricerca di autovalori e
autovettori: definizioni ed esempi. Molteplicità geometrica e algebrica di autovalori. Matrici diagonalizzabili. Matrici simili. Condizioni di diagonalizzabilità: molteplicità algebrica e geometrica. Diagonalizzabilità di matrici simmetriche. Esempi. |
18.1,
18.1 19.1, 19.2 |
|
| 32 |
19/5 |
Esercizi
su diagonalizzazione di matrici. Teorema di Cayley-Hamilton,
potenze di matrici diagonalizzabili, matrice inversa, e
autovalori di matrici nilpotenti. |
19.3 |
Esercizi |
| 33-34 |
25/5 |
Prodotti
scalari, definizione ed esempi. Disuguaglianza di
Cauchy-Schwartz e triangolare. Basi ortonormali e loro
proprietà. Ortonormalizzazione con l'algoritmo di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali, speciali e non. Matrici ortogonali 2x2 e rotazioni. Diagonalizzazione ortogonale per matrici simmetriche, esempi. |
20.1,
20.2, 20.3, 20.4 |
Esercizi |
| 35 |
26/5 |
Forme
quadratiche reali e matrice associata. Forme quadratiche
definite. Matrici congruenti. Regola dei segni di Cartesio. |
21.1,
21.2 |
Esercizi |
| 31/5 |
Esercitazione dott. Canino | |||
| 36-37 |
1/6 |
Coniche
classiche: iperbole, ellisse, parabola. Coniche in forma
canonica. Rototraslazioni nel piano. Coniche e
rototraslazioni: come ridurre una conica nella sua forma
canonica. Esercitazione: quiz su autovalori/autovettori e forme quadratiche. |
22.1,
22.2 23.1 |
File
quiz File quiz con soluzioni |
| 2/6 | Festa
della Repubblica |
|||
| 38-39 |
8/6 |
Determinazione
del tipo di conica, esempi. Cenni alle quadriche. Sfere e circonferenze nello spazio. Piano e rette tangenti a una sfera. Intersezione di 2 sfere, piano radicale. Esempi ed esercizi. |
23.2, 24.1, 24.2, 24.3 |
Esercizi
(e quiz) |
| 40 |
9/6 |
Esercitazione/ripasso
generale. |
Soluzioni
di quiz e esercizio non fatti in aula |
|
| 41 |
Lezione extra registrata (la trovate sul portale della didattica): svolgimento simulazione 4 |